منتدى علوم المنصورة
منتدى علوم المنصورة

اهلا بك يا زائر لديك 16777214 مساهمة
 
الرئيسيةالبوابةس .و .جبحـثالتسجيلدخول

شاطر | 
 

 معاملي الالتواء والتفرطح (Skewness & Kurtosis )

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا


عدد المساهمات : 1009
العمر : 29
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

مُساهمةموضوع: معاملي الالتواء والتفرطح (Skewness & Kurtosis )   الجمعة مارس 13, 2009 5:04 pm



Skewness






Jump to: navigation, search
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Example of experimental data with non-zero skewness (gravitropic response of wheat coleoptiles, 1,790)



In probability theory and statistics, skewness is a measure of the asymmetry of the probability distribution of a real-valued random variable.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


Definition



Skewness, the third standardized moment, is written as γ1 and defined as


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where μ3 is the third moment about the mean and σ is the standard deviation. Equivalently, skewness can be defined as the ratio of the third cumulant κ3 and the third power of the square root of the second cumulant κ2:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This is analogous to the definition of kurtosis, which is expressed as the fourth cumulant divided by the fourth power of the square root of the second cumulant.
For a sample of n values the sample skewness is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where xi is the ith value, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the sample mean, m3 is the sample third central moment, and m2 is the sample variance.
Given samples from a population, the equation for the sample skewness g1 above is a biased estimator of the population skewness. The usual estimator of skewness is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where k3 is the unique symmetric unbiased estimator of the third cumulant and k2 is the symmetric unbiased estimator of the second cumulant. Unfortunately G1 is, nevertheless, generally biased. Its expected value can even have the opposite sign from the true skewness.
The skewness of a random variable X is sometimes denoted Skew[X]. If Y is the sum of n independent random variables, all with the same distribution as X, then it can be shown that Skew[Y] = Skew[X] / √n.
Skewness has benefits in many areas. Many simplistic models assume normal distribution i.e. data is symmetric about the mean. The normal distribution has a skewness of zero. But in reality, data points are not perfectly symmetric. So, an understanding of the skewness of the dataset indicates whether deviations from the mean are going to be positive or negative.

*********************************************

Kurtosis


In probability theory and statistics, kurtosis (from the Greek word κυρτός, kyrtos or kurtos, meaning bulging) is a measure of the "peakedness" of the probability distribution of a real-valued random variable. Higher kurtosis means more of the variance is due to infrequent extreme deviations, as opposed to frequent modestly-sized deviations.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The far red light has no effect on the average speed of the gravitropic reaction in wheat coleoptiles, but it changes kurtosis from platykurtic to leptokurtic (-0.194 → 0.055)




Definition of kurtosis


The fourth standardized moment is defined as


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where μ4 is the fourth moment about the mean and σ is the standard deviation. This is sometimes used as the definition of kurtosis in older works, but is not the definition used here.
Kurtosis is more commonly defined as the fourth cumulant divided by the square of the second cumulant, which is equal to the fourth moment around the mean divided by the square of the variance of the probability distribution minus 3,


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
which is also known as excess kurtosis. The "minus 3" at the end of this formula is often explained as a correction to make the kurtosis of the normal distribution equal to zero. Another reason can be seen by looking at the formula for the kurtosis of the sum of random variables. Because of the use of the cumulant, if Y is the sum of n independent random variables, all with the same distribution as X, then Kurt[Y] = Kurt[X] / n, while the formula would be more complicated if kurtosis were defined as μ4 / σ4.
More generally, if X1, ..., Xn are independent random variables all having the same variance, then


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
whereas this identity would not hold if the definition did not include the subtraction of 3.
The fourth standardized moment must be at least 1, so the excess kurtosis must be −2 or more (the lower bound is realized by the Bernoulli distribution with p = ½, or "coin toss"); there is no upper limit and it may be infinite.


Sample kurtosis

For a sample of n values the sample kurtosis is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where m4 is the fourth sample moment about the mean, m2 is the second sample moment about the mean (that is, the sample variance), xi is the ith value, and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the sample mean.
The formula


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is also used, where n - the sample size, D - the pre-computed variance, xi - the value of the x'th measurement and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] - the pre-computed arithmetic mean.



Estimators of population kurtosis


Given a sub-set of samples from a population, the sample kurtosis above is a biased estimator of the population kurtosis. The usual estimator of the population kurtosis (used in DAP/SAS, Minitab, PSPP/SPSS, and Excel but not by BMDP) is G2, defined as follows:



[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where k4 is the unique symmetric unbiased estimator of the fourth cumulant, k2 is the unbiased estimator of the population variance, m4 is the fourth sample moment about the mean, m2 is the sample variance, xi is the ith value, and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the sample mean. Unfortunately, G2 is itself generally biased. For the normal distribution it is unbiased because its expected value is then zero.
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
 
معاملي الالتواء والتفرطح (Skewness & Kurtosis )
استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتدى علوم المنصورة :: واحة العِلم :: علم الرياضيات :: الاحصاء-
انتقل الى: