منتدى علوم المنصورة

شاطر
استعرض الموضوع السابقاذهب الى الأسفلاستعرض الموضوع التالي
avatar
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا
عدد المساهمات : 1009
العمر : 30
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

معاملي الالتواء والتفرطح (Skewness & Kurtosis )

في الجمعة مارس 13, 2009 5:04 pm


Skewness






Jump to: [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Example of experimental data with non-zero skewness (gravitropic response of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], 1,790)



In [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], skewness is a measure of the asymmetry of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]-valued [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]


Definition



Skewness, the third [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], is written as γ1 and defined as


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where μ3 is the third [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] and σ is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. Equivalently, skewness can be defined as the ratio of the third [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] κ3 and the third power of the square root of the second cumulant κ2:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This is analogous to the definition of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], which is expressed as the fourth cumulant divided by the fourth power of the square root of the second cumulant.
For a sample of n values the sample skewness is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where xi is the ith value, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], m3 is the sample third [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], and m2 is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
Given samples from a population, the equation for the sample skewness g1 above is a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the population skewness. The usual estimator of skewness is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where k3 is the unique symmetric unbiased estimator of the third cumulant and k2 is the symmetric unbiased estimator of the second cumulant. Unfortunately G1 is, nevertheless, generally biased. Its expected value can even have the opposite sign from the true skewness.
The skewness of a random variable X is sometimes denoted Skew[X]. If Y is the sum of n [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] random variables, all with the same distribution as X, then it can be shown that Skew[Y] = Skew[X] / √n.
Skewness has benefits in many areas. Many simplistic models assume normal distribution i.e. data is symmetric about the mean. The normal distribution has a skewness of zero. But in reality, data points are not perfectly symmetric. So, an understanding of the skewness of the dataset indicates whether deviations from the mean are going to be positive or negative.

*********************************************

Kurtosis


In [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], kurtosis (from the Greek word κυρτός, kyrtos or kurtos, meaning bulging) is a measure of the "peakedness" of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]-valued [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. Higher kurtosis means more of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is due to infrequent extreme deviations, as opposed to frequent modestly-sized deviations.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
The far red light has no effect on the average speed of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] in [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], but it changes kurtosis from platykurtic to leptokurtic (-0.194 → 0.055)




Definition of kurtosis


The fourth [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is defined as


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where μ4 is the fourth [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] and σ is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. This is sometimes used as the definition of kurtosis in older works, but is not the definition used here.
Kurtosis is more commonly defined as the fourth [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] divided by the square of the second cumulant, which is equal to the fourth moment around the mean divided by the square of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the probability distribution minus 3,


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
which is also known as excess kurtosis. The "minus 3" at the end of this formula is often explained as a correction to make the kurtosis of the normal distribution equal to zero. Another reason can be seen by looking at the formula for the kurtosis of the sum of random variables. Because of the use of the cumulant, if Y is the sum of n [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] random variables, all with the same distribution as X, then Kurt[Y] = Kurt[X] / n, while the formula would be more complicated if kurtosis were defined as μ4 / σ4.
More generally, if X1, ..., Xn are independent random variables all having the same variance, then


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
whereas this identity would not hold if the definition did not include the subtraction of 3.
The fourth standardized moment must be at least 1, so the excess kurtosis must be −2 or more (the lower bound is realized by the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] with p = ½, or "coin toss"); there is no upper limit and it may be infinite.


Sample kurtosis

For a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of n values the sample kurtosis is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where m4 is the fourth sample [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], m2 is the second sample moment about the mean (that is, the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]), xi is the ith value, and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
The formula


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is also used, where n - the sample size, D - the pre-computed variance, xi - the value of the x'th measurement and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] - the pre-computed arithmetic mean.



Estimators of population kurtosis


Given a sub-set of samples from a population, the sample kurtosis above is a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the population kurtosis. The usual estimator of the population kurtosis (used in [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]/[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]/[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] but not by [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]) is G2, defined as follows:



[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where k4 is the unique symmetric unbiased estimator of the fourth [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], k2 is the unbiased estimator of the population variance, m4 is the fourth sample moment about the mean, m2 is the sample variance, xi is the ith value, and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the sample mean. Unfortunately, G2 is itself generally biased. For the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] it is unbiased because its [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is then zero.
استعرض الموضوع السابقالرجوع الى أعلى الصفحةاستعرض الموضوع التالي
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى