منتدى علوم المنصورة

شاطر
استعرض الموضوع السابقاذهب الى الأسفلاستعرض الموضوع التالي
avatar
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا
عدد المساهمات : 1009
العمر : 30
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

Negative binomial distribution

في الإثنين مارس 09, 2009 1:25 pm
Probability mass function


The family of negative binomial distributions is a two-parameter family; several parametrizations are in common use. One very common parameterization employs two [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]-valued parameters p and r with 0 < p < 1 and r > 0. Under this parameterization, the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] with a NegBin(r, p) distribution takes the following form:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
for k = 0, 1, 2, ...
where

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is a
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. This binomial coefficient is equal to

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
—hence the name "negative binomial". Using the
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], we can write this as

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
In case r is a positive integer, we have

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
so

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Limiting case


An alternative parameterization uses the mean λ:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
the mass function becomes

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where λ and r are nonnegative real parameters. Under this parameterization, we have

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
which is the mass function of a
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] random variable with expected value λ. In other words, the alternatively parameterized negative binomial distribution [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] to the Poisson distribution and r controls the deviation from the Poisson. This makes the negative binomial distribution suitable as a robust alternative to the Poisson, which approaches the Poisson for large r, but which has larger variance than the Poisson for small r.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Gamma-Poisson mixture


Third, the negative binomial distribution arises as a continuous mixture of Poisson distributions where the mixing distribution of the Poisson rate is a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. Formally, this means that the mass function of the negative binomial distribution can also be written as

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Because of this, the negative binomial distribution is also known as the gamma-Poisson (mixture) distribution.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Cumulative distribution function



The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] can be expressed in terms of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Occurrence


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Waiting time in a Bernoulli process



For the special case where r is an integer, the negative binomial distribution is known as the Pascal distribution. It is the probability distribution of a certain number of failures and successes in a series of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. For k+r Bernoulli trials with success probability p, the negative binomial gives the probability of k failures and r successes, with success on the last trial. In other words, the negative binomial distribution is the probability distribution of the number of failures before the rth success in a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], with probability p of success on each trial. A Bernoulli process is a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] time process, and so the number of trials, failures, and successes are integers.
Consider the following example. Suppose we repeatedly throw a die, and consider a "1" to be a "success". The probability of success on each trial is 1/6. The number of trials needed to get three successes belongs to the infinite set { 3, 4, 5, 6, ... }. That number of trials is a (displaced) negative-binomially distributed random variable. The number of failures before the third success belongs to the infinite set { 0, 1, 2, 3, ... }. That number of failures is also a negative-binomially distributed random variable.
When r = 1 we get the probability distribution of failures before the first success (i.e. the probability of success on the (k+1)th trial), which is a
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Overdispersed Poisson



The negative binomial distribution, especially in its alternative parameterization described above, can be used as an alternative to the Poisson distribution. It is especially useful for discrete data over an unbounded positive range whose sample
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] exceeds the sample [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. If a Poisson distribution is used to model such data, the model mean and variance are equal. In that case, the observations are overdispersed with respect to the Poisson model. Since the negative binomial distribution has one more parameter than the Poisson, the second parameter can be used to adjust the variance independently of the mean. See [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Related distributions



The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is a special case of the negative binomial distribution, with





[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]





[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

avatar
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا
عدد المساهمات : 1009
العمر : 30
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

رد: Negative binomial distribution

في الإثنين مارس 09, 2009 1:26 pm

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Properties

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Relation to other distributions



If Xr is a random variable following the negative binomial distribution with parameters r and p, then Xr is a sum of r [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] variables following the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] with parameter p. As a result of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], Xr is therefore approximately [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] for sufficiently large r.
Furthermore, if Ys+r is a random variable following the
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] with parameters s + r and p, then

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
In this sense, the negative binomial distribution is the "inverse" of the binomial distribution.
The sum of independent negative-binomially distributed random variables with the same value of the parameter p but the "r-values" r1 and r2 is negative-binomially distributed with the same p but with "r-value" r1 + r2.
The negative binomial distribution is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], i.e., if X has a negative binomial distribution, then for any positive integer n, there exist independent identically distributed random variables X1, ..., Xn whose sum has the same distribution that X has. These will not be negative-binomially distributed in the sense defined above unless n is a divisor of r (more on this below).
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Sampling and point estimation of p


Suppose p is unknown and an experiment is conducted where it is decided ahead of time that sampling will continue until r successes are found. The sufficient statistics for the experiment is k, the number of failures.
In estimating p, the minimum variance unbiased point estimator is

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
One might think the estimator is

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
but this is biased[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Relation to the binomial theorem



Suppose K is a random variable with a negative binomial distribution with parameters r and p. The statement that the sum from k = 0 to infinity, of the probability Pr[K = k], is equal to 1, can be shown by a bit of algebra to be equivalent to the statement that (1 − p)r is what [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] says it should be.
Suppose Y is a random variable with a
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] with parameters n and p. The statement that the sum from y = 0 to n, of the probability Pr[Y = y], is equal to 1, says that 1 = (p + (1 − p))n is what the strictly finitary [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of rudimentary algebra says it should be.
Thus the negative binomial distribution bears the same relationship to the negative-integer-exponent case of the binomial theorem that the binomial distribution bears to the positive-integer-exponent case.
Assume p + q = 1. Then the
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of elementary algebra implies that

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This can be written in a way that may at first appear to some to be incorrect, and perhaps perverse even if correct:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
in which the upper bound of summation is infinite. The
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is defined even when n is negative or is not an integer. But in our case of the binomial distribution it is zero when k > n. So why would we write the result in that form, with a seemingly needless sum of infinitely many zeros? The answer comes when we generalize the binomial theorem of elementary algebra to
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. Then we can say, for example

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Now suppose r > 0 and we use a negative exponent:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Then all of the terms are positive, and the term

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is just the probability that the number of failures before the rth success is equal to k, provided r is an integer. (If r is a negative non-integer, so that the exponent is a positive non-integer, then some of the terms in the sum above are negative, so we do not have a probability distribution on the set of all nonnegative integers.)
Now we also allow non-integer values of r. Then we have a proper negative binomial distribution, which is a generalization of the Pascal distribution, which coincides with the Pascal distribution when r happens to be a positive integer.
Recall from above that

The sum of independent negative-binomially distributed random variables with the same value of the parameter p but the "r-values" r1 and r2 is negative-binomially distributed with the same p but with "r-value" r1 + r2.
This property persists when the definition is thus generalized, and affords a quick way to see that the negative binomial distribution is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Examples

(After a problem by Dr. Diane Evans, professor of mathematics at [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط])
Pat is required to sell candy bars to raise money for the 6th grade field trip. There are thirty houses in the neighborhood, and Pat is not supposed to return home until five candy bars have been sold. So the child goes door to door, selling candy bars. At each house, there is a 0.4 probability of selling one candy bar and a 0.6 probability of selling nothing.
What's the probability mass function for selling the last candy bar at the nth house?
Recall that the NegBin(r, p) distribution describes the probability of k failures and r successes in k+r Bernoulli(p) trials with success on the last trial. Selling five candy bars means getting five successes. The number of trials (i.e. houses) this takes is therefore k+5 = n. The random variable we are interested in is the number of houses, so we substitute k = n − 5 into a NegBin(5, 0.4) mass function and obtain the following mass function of the distribution of houses (for n ≥ 5):

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
What's the probability that Pat finishes on the tenth house?

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
What's the probability that Pat finishes on or before reaching the eighth house?
To finish on or before the eighth house, Pat must finish at the fifth, sixth, seventh, or eighth house. Sum those probabilities:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
What's the probability that Pat exhausts all 30 houses in the neighborhood?

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
استعرض الموضوع السابقالرجوع الى أعلى الصفحةاستعرض الموضوع التالي
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى