منتدى علوم المنصورة
منتدى علوم المنصورة

اهلا بك يا زائر لديك 16777214 مساهمة
 
الرئيسيةالبوابةس .و .جبحـثالتسجيلدخول

شاطر | 
 

 Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا


عدد المساهمات : 1009
العمر : 29
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

مُساهمةموضوع: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   الإثنين مارس 09, 2009 1:11 pm

Probability mass function

In general, if the random variable K follows the binomial distribution with parameters n and p, we write K ~ B(n, p). The probability of getting exactly k successes in n trials is given by the probability mass function:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
for k = 0, 1, 2, ..., n and where


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is the binomial coefficient (hence the name of the distribution) "n choose k", also denoted C(n, k), nCk, or nCk. The formula can be understood as follows: we want k successes (pk) and nk failures (1 − p)nk. However, the k successes can occur anywhere among the n trials, and there are C(n, k) different ways of distributing k successes in a sequence of n trials.
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
So, one must look to a different k and a different p (the binomial is not symmetrical in general). However, its behavior is not arbitrary. There is always an integer m that satisfies


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
As a function of k, the expression ƒ(k; n, p) is monotone increasing for k < m and monotone decreasing for k > m, with the exception of one case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two maximum values for m = (n + 1)p and m − 1. m is known as the most probable (most likely) outcome of Bernoulli trials. Note that the probability of it occurring can be fairly small.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Cumulative distribution function


The cumulative distribution function can be expressed as:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the "floor" under x, i.e. the greatest integer less than or equal to x.
It can also be represented in terms of the regularized incomplete beta function, as follows:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
For knp, upper bounds for the lower tail of the distribution function can be derived. In particular, Hoeffding's inequality yields the bound


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
and Chernoff's inequality can be used to derive the bound


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Mean, variance, and mode


If X ~ B(n, p) (that is, X is a binomially distributed random variable), then the expected value of X is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
and the variance is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This fact is easily proven as follows. Suppose first that we have exactly one Bernoulli trial. We have two possible outcomes, 1 and 0, with the first having probability p and the second having probability 1 − p; the mean for this trial is given by μ = p. Using the definition of variance, we have


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Now suppose that we want the variance for n such trials (i.e. for the general binomial distribution). Since the trials are independent, we may add the variances for each trial, giving


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The mode of X is the greatest integer less than or equal to (n + 1)p; if m = (n + 1)p is an integer, then m − 1 and m are both modes.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Algebraic derivations of mean and variance

We derive these quantities from first principles. Certain particular sums occur in these two derivations. We rearrange the sums and terms so that sums solely over complete binomial probability mass functions (pmf) arise, which are always unity


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We apply the definition of the expected value of a discrete random variable to the binomial distribution


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The first term of the series (with index k = 0) has value 0 since the first factor, k, is zero. It may thus be discarded, i.e. we can change the lower limit to: k = 1


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We've pulled factors of n and k out of the factorials, and one power of p has been split off. We are preparing to redefine the indices.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We rename m = n − 1 and s = k − 1. The value of the sum is not changed by this, but it now becomes readily recognizable


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The ensuing sum is a sum over a complete binomial pmf (of one order lower than the initial sum, as it happens). Thus


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[2]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Variance


It can be shown that the variance is equal to (see: Computational formula for the variance):


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
In using this formula we see that we now also need the expected value of X 2:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We can use our experience gained above in deriving the mean. We know how to process one factor of k. This gets us as far as


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
(again, with m = n − 1 and s = k − 1). We split the sum into two separate sums and we recognize each one


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The first sum is identical in form to the one we calculated in the Mean (above). It sums to mp. The second sum is unity.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Using this result in the expression for the variance, along with the Mean (E(X) = np), we get


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا


عدد المساهمات : 1009
العمر : 29
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   الإثنين مارس 09, 2009 1:12 pm

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Using falling factorials to find E(X2)

We have


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
But


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
So


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Thus


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Relationship to other distributions

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Sums of binomials

If X ~ B(n, p) and Y ~ B(m, p) are independent binomial variables, then X + Y is again a binomial variable; its distribution is


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

Normal approximation

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Binomial PDF and normal approximation for n = 6 and p = 0.5.


If n is large enough, the skew of the distribution is not too great, and a suitable continuity correction is used, then an excellent approximation to B(n, p) is given by the normal distribution


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Various rules of thumb may be used to decide whether n is large enough. One rule is that both np and n(1 − p) must be greater than 5. However, the specific number varies from source to source, and depends on how good an approximation one wants; some sources give 10. Another commonly used rule holds that the above normal approximation is appropriate only if everything within 3 standard deviations of its mean is within the range of possible values, that is if


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The following is an example of applying a continuity correction: Suppose one wishes to calculate Pr(X ≤ 8) for a binomial random variable X. If Y has a distribution given by the normal approximation, then Pr(X ≤ 8) is approximated by Pr(Y ≤ 8.5). The addition of 0.5 is the continuity correction; the uncorrected normal approximation gives considerably less accurate results.
This approximation is a huge time-saver (exact calculations with large n are very onerous); historically, it was the first use of the normal distribution, introduced in Abraham de Moivre's book The Doctrine of Chances in 1733. Nowadays, it can be seen as a consequence of the central limit theorem since B(n, p) is a sum of n independent, identically distributed Bernoulli variables with parameter p.
For example, suppose you randomly sample n people out of a large population and ask them whether they agree with a certain statement. The proportion of people who agree will of course depend on the sample. If you sampled groups of n people repeatedly and truly randomly, the proportions would follow an approximate normal distribution with mean equal to the true proportion p of agreement in the population and with standard deviation σ = (p(1 − p)n)1/2. Large sample sizes n are good because the standard deviation, as a proportion of the expected value, gets smaller, which allows a more precise estimate of the unknown parameter p.
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
مسلمة
عالم مش ساكت

عالم مش ساكت


عدد المساهمات : 129
العمر : 27
الألتزام بقوانين المنتدى :
الكليه : علوم
الفرقه والقسم : بكالريوس احصاء وعلوم الحاسب

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   الإثنين مارس 09, 2009 4:15 pm

جزاك الله خيرا اخيتى الكريمة
هوه ده الإثبات اللى انا كنت عايزاه
متشكرة ليكى جدا
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
Mano
عالم عام علينا

عالم عام علينا


عدد المساهمات : 2219
العمر : 27
العمل/الترفيه : Programming & Web Designing
المزاج : Never lost my hope in god
الاوسمه :
الألتزام بقوانين المنتدى :
الكليه : علوم المنصوره
الفرقه والقسم : بكالريوس إحصاء وعلوم الحاسب

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   الخميس مارس 12, 2009 12:04 am


بجد مجهود تشكرى عليه يا قمر

شكرا على الشرح الوافى دا







[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


You Can Never Know ......... But Never Say Never

أنا شخص لا يعطى للظروف فرصة لتقهرنى لأنى أصنع حظى بيدى تحت مظلة تدعى مشيئة الله

ولئن حطمتنى الظروف لأجمعن نفسى من جديد ... إنى عائد ... وبقوة
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
http://www.anrestech.com
the Diamon
عالم مجرم

عالم مجرم


عدد المساهمات : 56
العمر : 27
الألتزام بقوانين المنتدى :

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   السبت أبريل 04, 2009 4:27 pm

بارك اللة فيكي يا قمر وجعلة في ميزان حسناتك ياريت تتواصلي معانا دائما
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا


عدد المساهمات : 1009
العمر : 29
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   السبت أبريل 04, 2009 10:54 pm

ميرسي لمروركم الرائع
والجميل
واتمني التواصل مع بعض دايما
واللي محتاج حاجه

يتطلبها في اي حاجه


Very Happy Very Happy
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
frota
عالم مش ساكت

عالم مش ساكت


عدد المساهمات : 117
العمر : 27
المزاج : Moooody
الألتزام بقوانين المنتدى :
الكليه : علوم
الفرقه والقسم : بكالوريوس احصاء وعلوم حاسب

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   الأحد أبريل 05, 2009 10:53 pm

شكرااااااااااااا ليكى يا قمر
والشرح بسيط جدااا
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
roaa dalaa 8
عالم علي ماتفرج

عالم علي ماتفرج


عدد المساهمات : 33
العمر : 26
المزاج : كتير حلو
الألتزام بقوانين المنتدى :

مُساهمةموضوع: رد: Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )   الجمعة أبريل 10, 2009 7:51 pm

شكرا ليكى ياقمر
حاجة جميلة ان احنا نستفاد
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
 
Binomial distribution (توزيع ذي الحدين )
استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1
 مواضيع مماثلة
-
» CHI-SQUARE TEST كاي سكوير التعريف والخطوات مترجم من العربية إلي الإنجليزية

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتدى علوم المنصورة :: واحة العِلم :: علم الرياضيات :: الاحصاء-
انتقل الى: