منتدى علوم المنصورة

شاطر
استعرض الموضوع السابقاذهب الى الأسفلاستعرض الموضوع التالي
avatar
kamar_ellel
عالم مشرفنا

عالم مشرفنا
عدد المساهمات : 1009
العمر : 30
العمل/الترفيه : دراسات عليا أحصاء وعلوم الحاسب
المزاج : الحمد لله ماشى الحال
الألتزام بقوانين المنتدى :

Normal distribution

في الأربعاء يناير 07, 2009 5:44 am
Normal distribution

Probability density function
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

The continuous [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the normal distribution is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
where σ > 0 is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], the real parameter μ is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], and
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
is the density function of the "standard" normal distribution: i.e., the normal distribution with μ = 0 and σ = 1. The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] over the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is equal to one as shown in the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] article.
As a Gaussian function with the denominator of the exponent equal to 2, the standard normal density function [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is an [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].Cumulative distribution function

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] (cdf) of a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], evaluated at a number (lower-case) x, is the probability of the event that a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] (capital) X with that distribution is less than or equal to x. The cumulative distribution function of the normal distribution is expressed in terms of the density function as follows:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The standard normal cdf is just the general cdf evaluated with μ = 0 and σ = 1:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
The standard normal cdf can be expressed in terms of a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] called the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], as
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
and the cdf itself can hence be expressed as
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Generating functions



[[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]] Moment generating function


The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is defined as the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of exp(tX). For a normal distribution, the moment generating function is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
as can be seen by [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] in the exponent.

[[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]] Cumulant generating function


The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] generating function is the logarithm of the moment generating function: g(t) = μt + σ²t²/2. Since this is a quadratic polynomial in t, only the first two cumulants are nonzero.

[[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]] Characteristic function


The [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is defined as the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of exp(itX), where i is the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. So the characteristic function is obtained by replacing t with it in the moment-generating function.
For a normal distribution, the characteristic function is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Properties


Some properties of the normal distribution:

  1. If [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] and a and b are [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], then [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (see [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]).
  2. If [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] are [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] normal [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], then:



  • If [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] are independent normal random variables, then:


  • If [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] are independent standard normal variables, then [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] has a [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] with n degrees of freedom.
  • If [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] are independent standard normal variables, then the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] are [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. This property [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] normal distributions (and helps to explain why the [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] is non-robust with respect to non-normality!)


    [[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]] Standardizing normal random variables


    As a consequence of Property 1, it is possible to relate all normal random variables to the standard normal.
    If X ~ N(μ,σ2), then
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    is a standard normal random variable: Z ~ N(0,1). An important consequence is that the cdf of a general normal distribution is therefore
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Conversely, if Z is a standard normal distribution, Z ~ N(0,1), then
    X = σZ + μ
    is a normal random variable with mean μ and variance σ2.
    The standard normal distribution has been tabulated (usually in the
    form of value of the cumulative distribution function Φ), and the other
    normal distributions are the simple transformations, as described
    above, of the standard one. Therefore, one can use tabulated values of
    the cdf of the standard normal distribution to find values of the cdf
    of a general normal distribution.
    Moments


    The first few [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the normal distribution are:
    Number Raw moment Central moment Cumulant
    011
    1μ0μ
    2μ2 + σ2σ2σ2
    3μ3 + 3μσ200
    4μ4 + 6μ2σ2 + 3σ440
    5μ5 + 10μ3σ2 + 15μσ400
    6μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ615σ60
    7μ7 + 21μ5σ2 + 105μ3σ4 + 105μσ600
    8μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 + 105σ8105σ80
    All [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] of the normal distribution beyond the second are zero.
    Higher central moments (of order 2k with μ = 0) are given by the formula
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
  • اسلام الباز
    عالم علي ماتفرج

    عالم علي ماتفرج
    عدد المساهمات : 12
    العمر : 29
    المزاج : math
    الألتزام بقوانين المنتدى :

    رد: Normal distribution

    في الإثنين يناير 26, 2009 3:34 pm
    شكراجزيلا
    استعرض الموضوع السابقالرجوع الى أعلى الصفحةاستعرض الموضوع التالي
    صلاحيات هذا المنتدى:
    لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى